CUADRADOS SUPERMÁGICOS DE TAMAÑO CUATRO
SUPERMAGIC SQUARES OF SIZE FOURS
Vicente F. Molina-Padrón1 (1) Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas, Facultad de Matemática, Física y Computación, Carretera a Camajuaní Km. 5 ½, Santa Clara, Villa Clara – Cuba
Resumen
El objetivo del trabajo es obtener todos los cuadrados mágicos de tamaño cuatro a partir de un Modelo de Optimización; en el que, además de las restricciones tradicionales (sumas por filas, columnas y diagonales), se tengan en cuenta otras restricciones relacionadas con cuatro submatrices 2 x 2, en las que puede dividirse el cuadrado. Se demuestra que estas restricciones están implícitas en las tradicionales; por lo que todos los cuadrados de tamaño cuatro pueden clasificarse como supermágicos. Se representa el problema mediante un Modelo de Programación Lineal en Enteros con soluciones múltiples; que, al ser resuelto con ayuda del software LINGO, permitió encontrar los 880 cuadrados que cumplen tales restricciones. La forma como son presentados los cuadrados facilita que puedan ser localizados a partir de características referidas a la posición del número 1. Quedan ordenadas las combinaciones con el 1, para cualquier fila, en las que no existen estos cuadrados.
Abstract
The aim of this paper is to obtain all magic squares of size four, by using an Optimization Model where, in addition to the traditional restrictions (sums for rows, columns and diagonals), other restrictions related to four 2 x 2 submatrices, into which the square can be divided, are taken into account. It is shown that these additional restrictions are included in the traditional ones; therefore, all squares of size four could be classified as supermagic. The problem is represented by means of a Linear Programming Model in Integers with multiple solutions; which, when solved with the help of LINGO software, allowed to find the 880 squares that meet such restrictions. The way squares are presented makes it easy to locate them from characteristics referred to the position of number one. The different combinations for number one in any row for which these squares do not exist, are orderedl.
Palabras clave: LINGO, cuadrado mágico 4 x 4, modelo de optimización, propiedades de simetría Keywords: LINGO, magic square 4 x 4, optimization model, symmetry properties